COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

Crediti: 
6
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Il corso intende fornire le conoscenze di base della teoria spettrale degli operatori su uno spazio euclideo reale o complesso, della teoria delle forme bilineari e sesquilineari, dei prodotti scalari e hermitiani, e delle forme su uno spazio euclideo.

Contenuti dell'insegnamento

Spazio duale e trasposta di un'applicazione lineare. Spazi euclidei. Isometrie lineari e operatori unitari. Funzionali lineari e operatori aggiunti. Teoria spettrale degli operatori su uno spazio euclideo: operatori autoaggiunti e normali. Forme bilineari e sesquilineari. Prodotti scalari e hermitiani. Forme su spazi euclidei.

Programma esteso

Spazio duale di uno spazio vettoriale e base duale. Spazio biduale. Annullatore di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale. Trasposta di un'applicazione lineare. Spazi vettoriali euclidei (reali o complessi): complemento ortogonale di un sottospazio. Isometrie lineari e operatori unitari: matrici unitarie e ortogonali. Rappresentazione di un funzionale lineare e aggiunto di un operatore. Operatori autoaggiunti: operatori simmetrici e hermitiani. Teoria spettrale degli operatori in uno spazio euclideo. Operatori normali. Teorema spettrale: caso degli operatori autoaggiunti e normali.
Forme bilineari e sesquilineari: cambio di base, congruenza, forma polare. Prodotti scalari e hermitiani: esistenza di basi ortogonali. Teorema di Sylvester, criterio di congruenza per matrici simmetriche. Forme su spazi euclidei: riduzione
ad assi principali, diagonalizzazione simultanea di una coppia di forme quadratiche.

Bibliografia

Marco Abate, GEOMETRIA, MacGraw-Hill, Milano, 1996.

Metodi didattici

Gli argomenti teorici del corso sono presentati tramite lezioni frontali e
corredati da esempi significativi, applicazioni, e numerosi esercizi.
Durante il corso vengono assegnati esercizi che vengono poi discussi e
commentati durante le ore di lezione.

Modalità verifica apprendimento

L'esame consta di una prova scritta, che prevede la soluzione di alcuni
esercizi, e di una prova orale sugli argomenti teorici e le applicazioni
discussi durante il corso.